复旦数院泛函分析期末考试试题二则

摘要

复旦数院泛函分析期末考试试题二则.

试题与解答★

(1)证明或否定:如果线性算子的平方是一个紧算子,则也是一个紧算子.

证明 错误.反例如下,取,即平方可和序列空间.定义算子为

即将序列的每个元素移动到第个位置,其余位置用零填充.此时

即将序列的每个元素移动到第个位置,其余位置用零填充.此时的像空间是有限维,故是有限秩算子,是紧算子.但

其中出现在第个位置,对于任意的,都有

故在中无收敛子列,故不是紧算子.

★

(2)证明或否定:如果对于线性算子, 是一个紧算子,则也是一个紧算子.

证明 正确.由于是自伴算子.设序列是的特征值,且,其对应的特征向量序列为,构成了空间的一组正交基.记为一Hilbert空间,对任意,考虑

由于,故

考虑

其中为单位向量.由于对任给的,存在正整数,使得对任意,都有.故考虑

由于有限维空间中有界序列必有收敛子列,故我们只需考虑上述式子右端的第二项,即

其中,故有收敛子列,即是紧算子.

参考文献

[1]林源渠. 泛函分析学习指南. 北京: 北京大学出版社. 2009

[2]夏道行等. 实变函数论与泛函分析(下册·第二版修订本). 北京: 高等教育出版社, 2010

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